矩形 m×n 的格点矩形的个数问题
南平九三英华高中 饶晓强 13859456038
设有相距为 1 的 m 条平行线和与之垂直的间距亦为 1 的 n 条平行线 ,
这些平行线的 mn 个交点我们称之为格点。这两组互相垂直的平行线所组成的最大矩形，我们称之为 m×n 矩形（图 1 ），以这些格点为顶点的矩形叫做矩形
m×n 的格点矩形。我们把矩形 m×n 的 m 条平行线中相邻的  条平行线和
n 条平行线中相邻的  条平行线组成的最大的
i×j 矩形叫做矩形 m×n 的内含矩形。若矩形 m×n 的内含 i×j 矩形 ABCD( 图 2) 的格点矩形的四个顶点在矩形
ABCD 的任一组邻边上的垂直投影的集合包含｛ A,B,C ｝、｛ A,B,D ｝、｛ A,C,D ｝、｛ B,C,D
｝ 之一，则说这样的格点矩形具有性质 H ，亦可称这样的格点矩形为 ABCD 的 H 矩形。
若矩形 m×n 的格点矩形的边与矩形 m×n 的边平行或重合，则这样的格点矩形称为矩形
m×n 的 直 H 矩形，否则称为斜 H 矩形。
图 1 m × n 矩形
图
2 矩形 i×j
为了计算矩形 m×n 的所有格点矩形的个数 H(m,n), 我们将矩形 m×n 的格点矩形分成三部分。
• 直格点矩形。
• 属于矩形 m×n 的内含矩形 i×i 的斜 H 矩形：
• 边长相等的斜 H 矩形（简称为 i×i 矩形的 H' 矩形）。
• 边长不相等的斜 H 矩形（简称为 i×i 矩形的 H'' 矩形）。
• 属于矩形 m×n 的内含矩形 i×j （ i  j
）的斜 H 矩形（简称为 i×j （ i  j
）矩形的 H 。 矩形）。
不妨设 m>n 。现在来计算矩形 m×n 的各部分格点矩形的个数。
１、由排列组合知识可知，矩形 m×n 的所有直格点矩形的个数为  （１）
２、由于 i×i 矩形一边内部（ i － 2 ）个格点中每一个格点都对应于 i×i 矩形的一个Ｈ
， 矩形（图３），而矩形 m×n 含有 (m+1 — i)(n+1 － i) 个不同的内含 i × i 矩形，所以矩形
m×n 的全体内含 i×i 矩形的所有Ｈ ， 矩形的个数为
 （２）
为了计算 i × i 矩形ＡＢＣＤ的Ｈ ，， 矩形的个数，以下分两种情形考虑。
• i 为奇数
此时只有以 i×i 矩形 ABCD 各边中点为顶点的格点矩形 ( 是边长相等的矩形即正方形 )
不是 i×i 矩形 H ，， 矩形，因此 AB 边上除了中点以外的其他任一个内部格点都对应一个 i×i 矩形的 H ，，
矩形（图 4 ）。所以 i × i 矩形的 H ，， 矩形的个数
 （
i 为奇数）
（ 2 ） i 为偶数
此时矩形 i×i 的一边内部的任一格点都对应 i×i 矩形的一个 H ，， 矩形（图 5 ），因此
i×I 矩形的 H ，， 矩形的个数
 （
i 为偶数）
由以上两种情形可归纳出矩形 i × i 的 H ，， 矩形的个数
于是矩形 m×n 的全体内含 i×I 矩形的所有 H ，， 矩形的个数为
为了计算矩形 m×n 的所有格点矩形的个数
H(m,n), 我们将矩形 m×n 的格点矩形分成三部分。
• 直格点矩形。
• 属于矩形 m×n 的内含矩形 i×i 的斜 H 矩形：
• 边长相等的斜 H 矩形（简称为 i×i 矩形的 H' 矩形）。
• 边长不相等的斜 H 矩形（简称为 i×i 矩形的 H'' 矩形）。
• 属于矩形 m×n 的内含矩形 i×j （ i  j
）的斜 H 矩形（简称为 i×j （ i  j
）矩形的 H 。 矩形）。
不妨设 m>n 。现在来计算矩形 m×n 的各部分格点矩形的个数。
１、由排列组合知识可知，矩形 m×n 的所有直格点矩形的个数为  （１）
２、由于 i×i 矩形一边内部（ i － 2 ）个格点中每一个格点都对应于 i×i 矩形的一个Ｈ
， 矩形（图３），而矩形 m×n 含有 (m+1 — i)(n+1 － i) 个不同的内含 i × i 矩形，所以矩形
m×n 的全体内含 i×i 矩形的所有Ｈ ， 矩形的个数为
 （２）
为了计算 i × i 矩形ＡＢＣＤ的Ｈ ，， 矩形的个数，以下分两种情形考虑。
• i 为奇数
此时只有以 i×i 矩形 ABCD 各边中点为顶点的格点矩形 ( 是边长相等的矩形即正方形 )
不是 i×i 矩形 H ，， 矩形，因此 AB 边上除了中点以外的其他任一个内部格点都对应一个 i×i 矩形的 H ，，
矩形（图 4 ）。所以 i × i 矩形的 H ，， 矩形的个数
 （
i 为奇数）
（ 2 ） i 为偶数
此时矩形 i×i 的一边内部的任一格点都对应 i×i 矩形的一个 H ，， 矩形（图 5 ），因此
i×I 矩形的 H ，， 矩形的个数
 （
i 为偶数）
由以上两种情形可归纳出矩形 i × i 的 H ，， 矩形的个数
于是矩形 m×n 的全体内含 i×I 矩形的所有 H ，， 矩形的个数为
 
• 为了计算矩形 i×j(i  j)
的 H 。。 矩形的个数，先来看看 i×j(i  j)
矩形的 H ，， 矩形必须满足什么条件。将矩形 m×n 的内含 i×j 矩形放在如图 6 所示的直角坐标系中，设矩形 PQRS
为矩形 i×j(i  j)
的 H ，， 矩形，其顶点坐标为 P （ x,0 ）、Ｑ（ i － 1,y ）、Ｒ (i － 1 － x,j － 1),S(0,j
－ 1 － y),
令 a=i － 1,b=j － 1, 则上式经整理得
（ a － x ） x=(b － y)y (a  b)
(*)
由 H * 矩形的定义。则 x 、 y 必须满足条件（不妨以条件 E 称之）：
于是矩形 i×j(i  j)
的 H ，， 矩形 RQRS 的顶点坐标所涉及的 x 、 y 必是不定方程（＊）的满足条件 E 的一个解，而不定方程（＊）的满足条件
E 的正整数解必对应于矩形 i×j(i  j)
的一个 H ，， 矩形 ，因此矩形 i×j(i  j)
的 H ，， 矩形与不定方程（＊）的满足条件 E 的正整数解（ x ， y ）成一一对应，也就是说矩形 i×j(i  j)
的 H ，， 矩形的个数与不定方程（ * ）的满足条件 E 的正整数解的个数相同，我们用 h （ a ， b ）表示不定方程（＊）的满足条件
E 的正整数解的小数（其详细表达方式见文 [2] ），于是矩形 i×j(i  j)
的 H ，， 矩形的个数为 h(i － 1,j － 1) ，那么矩形 m×n 的全体内含 i×j(i  j)
矩形的所有 H ，， 矩形的个数为：
 （４）
这样一来，矩形 m×n 的所有格点矩形的个数应为（ 1 ）、（ 2 ）、（ 3 ）、（ 4 ）诸式之和
H(m,n)= 
 (5)
现在来进一步简化 H(m,n) 的表达式。
 ,
 
= 
= 
= 
于是 (5) 式可化为
H(m,n)= 
 (6)
(6) 式即为矩形 m×n 的格点矩形个数的计算公式 . 它比 (5) 式简洁 .
(6) 式当 m=n 时即为
H(m,n)=   (7)
文 [1] 问题五相当于本文矩形的所有格点矩形的个数问题 , 该文推算得矩形 n×n 的所有格点矩形的个数为
 ,
这仅仅是上述公式 (7) 的前一部分 , 文 [1] 漏了关于 H * 矩形个数的计算部分 , 因而是错误的 .
参考资料
[1] 汪继威，一道排列组合问题的推广，中学数学教学 84 （ 5 ）， P12 — 15
[2] 黄德芳，不定方程（ a － x ） x=(b － y)y(a ≠ b) 的正整数解的个数问题（未发表）
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