问题
1 已知双曲线 C ：  及直线
 ：
 （
 ），且
C 与  不相交。求在
C 的外部到 C 和  等距离的点的轨迹
先求 C 与  不相交的条件。将  代入 C 得  ，即
所以 C 与  不相交的条件为
 （ 1 ）
设 P  是所求轨迹上的一点，由双曲线 C 的参数方程  ，可知当 C 的图像分别位于第一、二、三、四象限时，设 C 上一点 T  则 OT 的离心角  分别位于第一、三、二、四象限，而当动点 P  位于  的上方时， P 点到  的距离  ，当动点 P  位于  的下方时， P 点到  的距离  。由 T 点坐标可知曲线 C 在 T 点处的切线的斜率为  ，设其法线的倾斜角为  ，则  ，令 
 ，于是 C 上过 T 点的法线的参数方程为
  (2)
1 、 T 点位于第一象限时， OT 的离心角满足  ，曲线 C 在 T 点的法线的外法线方向向上，
P  位于  的下方，且  ，令  代入（ 2 ）式得
令 A=  ，则上式成为
 
 D=  
D  =  
D  =  
由克莱姆法则  ，我们得到了 P  的参数方程
  （ 3 ）
2 、 T 点位于第二象限，此时 OT 的离心角满足  ， C 在 T 点的法线的外法线方向向上，
P  位于  的上方，且  ，令  代入（ 2 ）式得 P  的参数方程
（事实上只需用（  ）代替（ 3 ）式的 A 即可）
  （ 4 ）
3 、 T 点位于第三象限，此时 OT 的离心角满足  ， C 在 T 点的法线的外法线方向向下，
P  位于  的上方，且  ，令  代入（ 2 ）式，我们得到 P  的参数方程为（ 3 ）式。
• T 点位于第四象限，此时 OT 的离心角满足  ，与前面的推理类似，我们得
P  的参数方程为（ 4 ）式。
这样，我们求得了 C 的外部到 C 和  等距离的点的轨迹的参数方程
 （  为第一、二象限的角） （ 5 ）
 （  为第三、四象限的角） （ 6 ）
（其中  ）
问题 2 条件同问题 1 ，求 C 的外部到 C 和  的距离之比为  的点的轨迹。
设 P  为所求轨迹的一点， T 为 C 上的一点， PT 在 C 的过 T 的法线上， P 到  的距离为  ，由已知条件  ，即  ，于是只需将  代替（ 5 ）、（ 6 ）中的 A 即得所求点的轨迹的参数方程
 （  为第一、二象限的角） （ 7 ）
 （  为第三、四象限的角） （ 8 ）
（其中  ）
问题 3 条件同问题 1 ，求 C 的外部到  与 C 的距离之和为常数  的点的轨迹。
1 、我们先求 C 的左右支分别到  的最小距离。由于  ，因此 C 上与  的距离为最小的点 T 只可能位于第一、三象限，这时与之相对应 OT 的离心角  分别是第一、二象限的角，而过 T 点的切线的斜率为  ，令  。
（ 1 ）  ，则  ，  ，
 T （  ，  ），  T 点到  的距离
 。
（ 2 ）  ，同理得 T （  ，  ），则 T 点到  的距离   。
2 、为方便计，令  。以下就 T 点位于不同的象限时，求动点 P  到  与 C 的
距离之和为  的轨迹。
（ 1 ）  ，则 T 点位于第一象限，动点 P 位于  的下方，它到  的距离  动点 P
到 C 的右支的距离为  （其中  ），将它代
入方程（ 2 ），得
 （ 9 ）
上式经整理得
 
 
 
= 
 
由克莱姆法则，即得  的参数方程
 
（ 10 ）
（ 2 ）  ，此时 T 点位于第三象限，动点 P 位于  的上方矩形 m × n 的格点矩形的个数问题
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